No necesitas VPS si ya tienes el tarro en tu casa. El dominio puede ser.

Hay servicios gratis para ddns, como no-ip. En ese caso tu dirección IP va a cambiar igual, pero el nombre de dominio se mantiene constante y cada cierto tiempo pregunta por la IP y la actualiza si ha cambiado. No puedes elegir cualquier dominio, pero supongo que eso no te importa.

Se puede usar cloudfare para algo parecido, un dominio que apunte a tu ip y se actualice cada cierto tiempo por si cambia, pero no creo que sea gratis.

Con AWS, GCP, DigitalOcean se puede hacer algo parecido, pero hay que meterle algún script o algo que pregunte tu IP y actualice a donde apunta el dominio.

Por último, puedes llamar al ISP y pedirles una dirección ip fija. Seguramente cambian a un plan tipo "empresa" que sale mucho más caro.

acabo de descubrir DuckDNS, veamos cuánto dura

Agregando a lo que te han dicho, el uso de VPS te asegura la IP fija, pero es básicamente que arriendas un PC de alguien más. Si tu tarrito es potente probablemente te convenga seguir usándolo.

Yo para mi tarrito en casa uso Cloudflare para el dns y ddclient (que me recomendaron acá) para actualizar la ip en el cloudflare.

Ni idea si duckdns o algo similar es mejor o no.